Qué hace la calculadora de longitud de onda de De Broglie
Esta página convierte masa y velocidad en una longitud de onda. La fórmula es lambda = h / (m v). Aquí lambda es la longitud de onda de De Broglie en metros, h es la constante de Planck (6.62607015 x 10^-34 J s), m es la masa en kilogramos y v es la velocidad en metros por segundo. El resultado es una onda de materia, el mismo tipo de onda que hace posible la difracción de electrones.
Puedes elegir un valor predefinido para un electrón, un protón o un neutrón. Esas masas provienen de CODATA 2018. También puedes escribir cualquier masa en kilogramos. La calculadora usa la fórmula no relativista. Por encima de unos 0.1 c, donde c es la velocidad de la luz (299,792,458 m/s), el momento es mayor que m x v, así que la longitud de onda real es más corta que la que informa esta herramienta. La calculadora muestra una advertencia en ese punto. No calcula el valor relativista.
El momento y por qué importa la masa
El momento es p = m v. Un objeto pesado que se mueve a la misma velocidad que uno ligero lleva más momento. Como lambda = h / p, más momento significa una longitud de onda más corta. Esa sola idea explica casi todos los resultados de esta página.
La constante de Planck es diminuta. Una pelota de béisbol de 0.145 kg lanzada a 40 m/s tiene una longitud de onda cercana a 1.1 x 10^-34 m. Es mucho más pequeña que un átomo, así que ningún experimento puede verla. Los objetos cotidianos tienen ondas de materia, pero son inobservables en la práctica.
Los electrones son distintos. Un electrón tiene una masa de 9.1093837015 x 10^-31 kg. A 1,000,000 m/s su longitud de onda es de unos 0.727 nm. Eso se acerca a la distancia entre átomos en un cristal. Cuando esos electrones atraviesan un cristal delgado, los planos atómicos actúan como una red de difracción. Por eso funciona la difracción de electrones y por eso los microscopios electrónicos pueden resolver detalles mucho más pequeños que los microscopios ópticos.
Ejemplo resuelto: electrón a 1,000,000 m/s
Empieza con la fórmula: lambda = h / (m v).
- h = 6.626 x 10^-34 J s
- m = 9.109 x 10^-31 kg
- v = 1,000,000 m/s = 1 x 10^6 m/s
- m v = 9.109 x 10^-31 x 1 x 10^6 = 9.109 x 10^-25 kg m/s
- lambda = 6.626 x 10^-34 / 9.109 x 10^-25 = 7.27 x 10^-10 m
Eso es 0.727 nm. Para comparar, un puntero láser verde de 532 nm tiene una longitud de onda de fotón unas 730 veces mayor. La longitud de onda del electrón está en el rango de los rayos X, y por eso los haces de electrones pueden explorar la estructura atómica.
Valores predefinidos y cuándo usarlos
Las masas predefinidas son:
| Partícula | Masa (kg) |
|---|---|
| Electrón | 9.1093837015 x 10^-31 |
| Protón | 1.67262192369 x 10^-27 |
| Neutrón | 1.67492749804 x 10^-27 |
Usa el valor predefinido del electrón para difracción de electrones, microscopía electrónica y experimentos con electrones de baja energía. Usa el del protón o el del neutrón para física de haces y dispersión de neutrones. Para cualquier otra cosa, introduce la masa en kilogramos. Si solo conoces la masa en unidades de masa atómica, multiplícala por 1.66053906660 x 10^-27 kg por u antes de escribirla.
La velocidad debe estar en metros por segundo. Si en cambio tienes energía cinética, puedes hallar v a partir de E = 1/2 m v^2 para partículas lentas. Reordenando, v = sqrt(2E/m). Mantén la energía en julios. Si tu energía está en electronvoltios, multiplícala primero por 1.602176634 x 10^-19 J por eV.
Límite no relativista y la advertencia
La fórmula lambda = h / (m v) usa el momento clásico. A bajas velocidades es exacta hasta muchos decimales. A medida que la velocidad sube, el momento relativista p = gamma m v crece más rápido que m v, donde gamma es el factor de Lorentz. La longitud de onda verdadera se vuelve más corta que el resultado no relativista.
Por encima de unos 0.1 c, la diferencia supera el uno por ciento y sigue creciendo. Para un electrón, 0.1 c es unos 3.0 x 10^7 m/s. La calculadora te avisa cuando tu dato cruza esa línea. No calcula el valor relativista, así que toma cualquier resultado por encima de 0.1 c como un límite superior. En esos casos, usa p = gamma m v en la misma fórmula lambda = h / p.
Por debajo de 0.1 c no hace falta ninguna corrección. El ejemplo del electrón a 1,000,000 m/s es solo 0.0033 c, así que la fórmula clásica sirve perfectamente ahí.
Dónde aparecen las ondas de materia
La difracción de electrones es el caso clásico. Un haz de electrones con longitudes de onda cercanas al espaciado atómico se dispersa en un cristal y forma un patrón de puntos claros y oscuros. El patrón coincide con la estructura del cristal. La difracción de neutrones usa la misma idea con neutrones, que penetran más profundamente en muchos materiales.
Las ondas de materia también importan en los cursos de mecánica cuántica. El modelo de Bohr, la partícula en una caja y el principio de incertidumbre usan todos lambda = h / p. Si estás estudiando alguno de esos temas, esta calculadora te da una forma rápida de comprobar tus números.
Para los fotones, la fórmula relacionada es lambda = c / f, y la energía del fotón es E = h f. Esas están en la calculadora de energía del fotón. Para ondas de radio y antenas, consulta la calculadora de longitud de antena. Todas las fórmulas que se usan aquí están en cómo calculamos.